ללמוד כפל

lomdimbareshet . סרטוני למידה 14889

ל ל מ ו ד   כ פ ל  –  ה ש י ט ה   ה ח י ש ו ב י ת

במאמר זה מוצגות דרכים פשוטות ויעילות ללימוד ושליטה בפעולת הכפל.

בניגוד ללימוד לוח הכפל בע"פ ,השיטה החישובית המוצגת כאן, מספקת יכולןת חישוב הרבה מעבר לגבולות המכפלה 100.

כדי לשלוט בשיטה החישובית נדרש אימון יומי של 5 דקות. בתוך מספר שבועות של אימון, השיטה החישובית

מוטמעת, עד למצב של שליטה אוטומטית בפעולת הכפל ובלוח הכפל בפרט.

בחן את עצמך

הקדמה

(מי שאינו מעוניין ברקע כללי ורק רוצה ללמוד כפל , מוזמן לצפות בסרטון "ללמוד כפל (לוח הכפל)" או לגלול מטה ללימוד כפל במספר שלבים פשוטים – השיטה החישובית).

לפני כשלושה עשורים , כשהייתי תלמיד בכיתה ד' , נדרשתי ללמוד את לוח הכפל בעל פה. כידוע, לוח הכפל מרוכז בטבלה של 11 על 11 ובתוכה 100 פתרונות ל- 100 תרגילים. למרות שמגיל צעיר הרגשתי טוב בסביבת מספרים וחישובים , התקשיתי לזכור את הפתרונות של תרגילי לוח הכפל. במקום זאת , מצאתי שיטות שונות לחישוב מהיר של תרגילי כפל. בעקבות התרגול הרב לאורך שנות בית הספר, התשובות נחקקו בזיכרוני עד שהפכו לאוטומטיות (זכירה בע"פ).

רבים מהתלמידים שלא מצליחים ללמוד בע"פ את לוח הכפל מחפשים לעצמם שיטות חישוב שונות. חלקם מצליחים ואחרים המצליחים פחות עוברים להשתמש במחשבון. כשלימדתי תלמידים לבחינה הפסיכומטרית שבה אסור השימוש במחשבון, הופתעתי לגלות את שכיחותם הרבה של תלמידים , שאינם שולטים בלוח הכפל למרות שעברו בהצלחה את בחינת הבגרות במתמטיקה.

הידע החסר של תלמידי ואזרחי ישראל בפעולה בסיסית ושימושית בחיי היום יום אינו רצוי וכדאי לשנותו. החשיבות של שליטה בפעולת הכפל מקבלת משנה תוקף מכיוון שהיא מהווה תנאי הכרחי לשליטה בפעולה יומיומית אחרת- פעולת החילוק. נכון שכיום המחשבון במכשיר הסלולרי זמין ביותר , אולם פעולות הכפל והחילוק הן קריטיות בהבנת עולם המספרים. השליטה בהן מעלה את רמת התלמידים ומקנה תחושה של בטחון ומסוגלות. אם אתם או ילדכם אינכם שולטים בפעולת הכפל, דעו כי תוך זמן קצר ניתן לשפר את המצב .

כמורה למתמטיקה אני נוהג לשאול את תלמידיי כיצד הגיעו לפתרון. לעיתים התשובה היא "אני פשוט יודע" מה שמרמז על כך שהתלמיד יודע את התשובה בע"פ. תשובה נפוצה אחרת היא "באמצעות חיבור". לדוגמה בתרגיל 4 כפול 5 התלמיד מתחיל מ- 5 ומוסיף עוד 5 ועוד 5 ועוד 5 עד שמגיע ל- 20. שיטה זו היא המהות של פעולת הכפל אך אינה יעילה - החישוב איטי ונדרש שימוש באצבעות (כדי לזכור כמה פעמים חיברנו). בשל הסרבול שבה, לא תמיד מובילה שיטה זו לתשובה הנכונה.

לפני שאסביר את השיטה החישובית ללימוד כפל, ברצוני להתייחס ללמידה בע"פ ולשיטות לימוד באמצעות האצבעות, שירים ו"קסמים" למיניהם. אקדים ואומר שכל שיטה אשר תוביל בסופו של דבר לשליטה אוטומטית בפעולת הכפל ברוכה היא. לחילופין, אם המשאבים הקוגניטיביים והזמן הנדרשים לשם הגעה לתשובה נכונה הם גדולים, התלמיד יתקשה למצוא משאבים נוספים להטמעת התשובה בזיכרונו. אם לאחר זמן של אימונים הפתרון אינו הופך לאוטומטי, אזי השיטה אינה יעילה. כמורה למתמטיקה אני נדרש לפתור תרגילי כפל מידי יום. אלמלא כך, כנראה שהייתי שוכח חלק מהתשובות. אולם את הדרך המובילה לפתרון אתקשה לאבד. 

ישנם אנשים בעלי יכולת קליטה "צילומית" . אנשים אלו מסוגלים לסרוק במבט את לוח הכפל ולאחר מספר פעמים שעשו זאת ייזכרו אותו בע"פ. אנשים אחרים הם בעלי יכולת שינון מצוינת. הם יכולים ללמוד את לוח הכפל תוך מספר ימים באמצעות שינון של מספר אחד ביום. כך למשל, ביום אחד הם ישננו את הכפולות של שתיים, ביום אחר ישננו את הכפולות של שלוש וכך הלאה. חסרונן הגדול של השיטות הנ"ל ושל שיטות אחרות כמו לימוד באמצעות שירים ושימוש באצבעות וצורות הנדסיות נובע מכך שהן לא בהכרח נשמרות בזיכרון לאורך השנים. בשיטה החישובית אותה אציג כעת, התלמיד נדרש לדעת חיבור וחיסור ברמה בסיסית ולזכור מספר מהלכים פשוטים והגיוניים. מכיוון שהתלמיד מתרגל את דרך החישוב שוב ושוב הוא יתקשה לשכוח אותה בדיוק כמו שקשה מאוד לשכוח את הדרך לבית הספר גם לאחר שנות דור. הפעולות החשבוניות הנדרשות בשיטה החישובית הן פשוטות למדי, ולכן יכולים התלמידים לבצע אותן במהירות ובקלות ועדיין יישארו להם מספיק משאבים קוגניטיביים להפנמת התשובה ובמשך הזמן להפוך אותה לאוטומטית.

אחד הייתרונות ללומדים כפל בשיטה החישובית , נובע מהשימוש החוזר בפעולת החיסור ובעיקר בפעולת החיבור. עקב כך מחזק הלומד את יכולתו לבצע פעולות אלה בצורה מהירה ומדוייקת.

אחד הייתרונות ללומדים כפל בשיטה החישובית , נובע מהשימוש החוזר בפעולות החיסור והחיבור. עקב כך מחזק הלומד את יכולתו לבצע פעולות אלה בצורה מהירה ומדוייקת.

     לשיתוף המאמר

השיטה החישובית ללימוד כפל

בשפת המקרא והמשנה משמעות המילה כפל היא פעמיים, כלומר הכפול הוא פי שניים. כנראה שהיה מקל על התלמידים להבין אם במקום לומר 4 כפול 5 היינו אומרים - 4 פעמים 5 (באנגלית: times  ו- Times table) . המילה "פעמים" מבהירה בפשטות את מהות הפעולה החשבונית שבה מבצעים חיבור של אותו מספר כך וכך פעמים.

למעשה, פעולת הכפל עוזרת לנו לבצע פעולות חיבור חוזרות ונשנות בצורה מהירה ויעילה. במקום לרשום 3+3+3+3+3 נרשום בקיצור: 5 פעמים 3  או  5X 3 . מכאן נובע היתרון של זכירה בע"פ את המכפלות השונות. במקום לחבר כל פעם רצף של מספרים, לומדים את המכפלה וחוסכים את הצורך לחישוב חוזר ונשנה.

מהמהות של פעולת הכפל נובע חוק החילוף , שלפיו אם מכפילים שני מספרים התוצאה נשארת זהה גם כאשר מחליפים את הסדר שלהם. למשל 2 כפול 3 זהה ל- 3 כפול 2 . בשני המקרים התשובה היא 6. חוק החילוף מקל בביצוע פעולת הכפל ובהמשך תראו כיצד.

בשיטה החישובית ללימוד כפל עובדים עם מספר דרכים פשוטות לחישוב, לפי הסדר המומלץ הבא:

כפולות של 10

כפולות של 2

כפולות של 5 (על בסיס 10)

כפולות של 9 (על בסיס 10)

כפולות של 4 (על בסיס 2)

כפולות של 8 (על בסיס 2 או על בסיס 4)

כפולות של 3 (על בסיס 2)

כפולות של 6 (על בסיס 5 או על בסיס 3)

כפולות של 7 (באמצעות חוק החילוף)

הכפולות של 10

כאשר כופלים ב- 10 נשתמש בחוק החילוף.  לדוגמה, במקום לחבר 10 פעמים 7       70 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7

עדיף לחבר 7 פעמים 10:   70 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10

מכאן ניתן להבחין שכשכופלים מספר ב- 10 , המכפלה היא המספר שמימינו רשום 0. לדוגמה:    270 = 27 * 10

כשלומדים להכפיל ב- 10 , מומלץ לשלב אימון ספירה בדילוגים של 10 באופן הבא:

10, 20, 30, 40 , 50, 60, 70, 80, 90 , 100 , 110, 120 וכו'.

הכפולות של 2

לכפול ב- 2 היא פעולה שבה מחברים מספר עם עצמו. לדוגמה:   16 = 8 + 8 = 8 * 2  

לכן, כדי לשלוט בכפולות של 2 , צריך להתאמן בחיבור של כל מספר עם עצמו.

זה המקום להדגיש שהשיטה החישובית ללימוד לוח הכפל, בנויה על פעולות החיבור והחיסור שהן מאבני היסוד של השפה המתמטית כולה.

בנוסף לתרגול של חיבור כל מספר עם עצמו , מומלץ לשלב אימון ספירה בדילוגים של 2 באופן הבא:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24 וכו'

הכפולות של 5 (על בסיס 10)

מכיוון ש- 5 הוא חצי מ- 10 ניתן לכפול ב- 5 באמצעות הכפלה ב- 10 וחישוב מחצית המכפלה. לדוגמה:

35 = 7 * 5      כי   70 =  7 * 10     וחצי של 70 הוא 35 .

דוגמה נוספת:

80 = 16 * 5      כי   160 =  16 * 10     וחצי של 160 הוא 80 .

כדאי לזכור שכל המכפלות של  5 מסתיימות   ב- 5 או ב- 0. כאשר כופלים מספר זוגי ב- 5 המכפלה מסתיימת ב- 0 , וכאשר כופלים מספר אי זוגי ב- 5 המכפלה מסתיימת ב- 5 .

לדוגמה:    35 = 7 * 5      ואילו        20 = 4 * 5      

כשלומדים להכפיל ב- 5, מומלץ לשלב אימון ספירה בדילוגים של 5 באופן הבא:

5 , 10 , 15,  20, 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 וכו'.

הכפולות של 9 (על בסיס 10)

כשכופלים ב- 9 משתמשים בקרבה שבין הכפל ב- 9 לבין הכפל ב- 10. לדוגמה:

54 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6       = 6 * 9

60 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 * 10

ננצל את הסמיכות של 9 ל- 10 ובמקום לכפול ב- 9 נכפול ב- 10 ומהתוצאה נוריד את המוכפל פעם אחת.

כלומר, כשנצטרך לכפול 6 ב- 9 נבצע ראשית את התרגיל    60 = 6 * 10  ,  מה- 60 נחסיר 6     ונקבל  54.

כשלומדים את הכפולות של 9 , כדאי לשים לב לתופעה מספרית נחמדה - סכום הספרות של המכפלה הוא 9 , או מספר שמתחלק ב- 9 :

9 = 1 * 9

18 = 2 * 9            (9 = 8 + 1)

27 = 3 * 9            (9 = 7 + 2)

36 = 4 * 9            (9 = 6 + 3)

45 = 5 * 9           (9 = 5 + 4)

54 = 6 * 9

63 = 7 * 9

72 = 8 * 9

81 = 9 * 9

90 = 10 * 9

כשלומדים להכפיל ב- 9, מומלץ לשלב אימון ספירה בדילוגים של 9 באופן הבא:

9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72 , 81 , 90 , 99 , 108 וכו'.

הכפולות של 4 (על בסיס 2)

מכיוון ש 4 = 2 * 2 , ניתן לבצע כל הכפלה ב- 4 באמצעות שתי הכפלות ב- 2.   לדוגמה:     7 * 2 * 2  =  7 * 4

ולכן כדי לחשב את המכפלה נבצע פעמיים כפל ב- 2 :

28 = 14 + 14   <--   14 = 7 + 7           = 7 * 4

כשלומדים להכפיל ב- 4 , מומלץ לשלב אימון ספירה בדילוגים של 4 באופן הבא:

4, 8, 12, 16, 20, 24 , 28, 32, 36, 40, 44, 48 וכו'

הכפולות של 8 (על בסיס 2 או 4)

מכיוון ש 8 = 2 * 2 * 2  , ניתן לבצע כל הכפלה ב- 8 באמצעות שלוש הכפלות ב- 2.   לדוגמה:     6 * 2 *  2 * 2 =  6 * 8

ולכן כדי לבצע את המכפלה נבצע שלוש פעמים כפל ב- 2 :

48 = 24 + 24   <--   24 = 12 + 12   <--     12 = 6 + 6        = 6 * 8

אם זוכרים בע"פ כפולה של 4 ניתן לכפול את התשובה ב- 2  ולסיים מהר יותר. לדוגמה:

במקרה שזוכרים בע"פ ש:    28 = 7 * 4    ניתן לבצע הכפלה של התוצאה ב- 2  ולסיים:

28 * 2 = 7 * 4 * 2 = 7 * 8      ולכן:       56 = 28 + 28 = 7 * 8

כשמגיעים לכפולות של 8 ואחר כך גם לכפולות של 3 , 6  ו- 7 יש להדגיש את הבחירה שיש בידנו בזכות חוק החילוף.

למשל בתרגיל  8 * 9 , ניתן לבחור להשתמש בכפולות של 9 (פשוט ומהיר) לעומת השימוש בכפולות של 8.


הכפולות של 3 (על בסיס 2)

כשכופלים ב- 3, נשתמש בקרבה שלו  ל- 2  באופן הבא: ראשית נכפול ב- 2  ואחר כך נוסיף למכפלה את המספר המוכפל.

                                                                    24 = 8 + 16 = 8 + 8 *  2 = 8 * 3

כשמתרגלים הכפלה ב- 3, מומלץ לשלב אימון ספירה בדילוגים של 3 באופן הבא:

3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 וכו'

הכפולות של 6 (על בסיס 5 או על בסיס 3)

הכפלה של 6 על בסיס 5  מתבססת על הקרבה בין שני המספרים. 

                                                        35 =7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 * 5

                                                42 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7  = 7 * 6

מכיוון שקל יחסית לשלוט בכפולות של 5, נכפול קודם ב- 5 ואז נוסיף את המספר המוכפל פעם אחת. נמחיש באמצעות דוגמה:

                                                                                                                  42 = 7 + 35 = 7 + 7 * 5  = 7 * 6

הכפלה של 6 על בסיס 3

מכיוון ש   6 =  2 * 3   ניתן לבצע הכפלות ב- 6 באמצעות הכפלה ב- 3 ואחר כך הכפלה ב- 2  ,  לדוגמה:      48 = 24 + 24 = 2 * 3 * 8  =  6 * 8

לכן, אם זוכרים בע"פ כפולות של 3 , ניתן להשתמש בהן כדי לחשב במהירות כפולות של 6.

הכפולות של 7 (באמצעות כלל החילוף)

את הכפולות של 7 ניתן לבצע בהסתמך על כלל החילוף . כך לדוגמה, את התרגיל 5 * 7  , נפתור באמצעות הכפולות של 5:   35 = 7 * 5

המכפלה היחידה שצריך לזכור בע"פ היא:  49 = 7 * 7


טיפים לחישובי כפל עם מספרים "גדולים"

עבור המעוניינים להרחיב שליטתם בפעולת הכפל גם למספרים גדולים, אציג מספר מכפלות נבחרות.

הכפולות של 100 , 1000 וכו'

קל לזכור שכשכופלים מספר ב- 100 , המכפלה היא המספר עם שני אפסים מימינו. לדוגמה:    3,700 = 37 * 100

באותו אופן כאשר כופלים ב- 1000 , המכפלה היא המספר עם שלושה אפסים מימינו. לדוגמה:   21,000 = 21 * 1,000

הכפולות של 50 , 500 וכו'

מכיוון ש- 50 הוא חצי מ- 100 ניתן לכפול ב- 50 באמצעות כפל ב- 100 וחישוב חצי של המכפלה. לדוגמה:    700 = 14 * 50

כי     1,400 = 14 * 100     וחצי של 1,400 הם 700 .

דוגמה נוספת:       13,000 = 26 * 500   

כי     26,000 = 26 * 1,000     וחצי של 26,000 הם 13,000 .

הכפולות של 15 , 25 וכו'

כאן נשתמש בכפולות של 10 והכפולות של 5 .

אסביר באמצעות דוגמה.  בתרגיל  22 * 15    נכפיל את 22 ב- 10 ונוסיף עוד חצי מהמכפלה (שזה למעשה הכפל ב- 5)

כך יוצא ש:      330 = 110 + 220 = 22 * 15

דוגמה נוספת:        690 = 230 + 460 = 46 * 15

בכפלות של 25 מבצעים פעולה דומה:   350 = 70 + 140 + 140 = 14 * 25

הכפולות של 19, 29, וכו'

בכפולות אלו נשתמש בקרבה של 19 ל- 20 , בקרבה של 29 ל- 30 וכו'.

בתרגיל 40 * 19 ,  נכפיל את 40 ב- 20 ואחר כך נוריד פעם אחת 40 באופן הבא:

760 = 40 - 800 = 40 - 40 * 20 = 40 * 19

דוגמה נוספת:

248 = 12 - 360 = 12 - 12 * 30 = 12 * 29

בחן את עצמך